พหุนาม

คณิตศาสตร์เป็นเครื่องมือสำคัญต่อการพัฒนาศักยภาพด้านการคิดการให้เหตุผล และการแก้ปัญหาอย่างเป็นระบบ

การจัดการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ ควรมุ่งพัฒนากระบวนการคิดเพื่อให้ผู้เรียนคิดเป็นและแก้ปัญหาเป็น การคิดมีลักษณะเป็นกระบวนการ กระบวนการเรียนการสอนคณิตศาสตร์จึงจำเป็นต้องมีลำดับขั้นตอนเพื่อให้ผู้ เรียนเกิดกระบวนการคิดจากง่ายไปหายาก คิดจากรูปธรรม มองเห็นภาพในความคิด ซึ่งนำไปสู่การคิดในลักษณะนามธรรม


พหุนาม เป็นหนังสือเล่มหนึ่งในชุดพัฒนากระบวนการคิดคณิตศาสตร์ มุ่งเน้นนักเรียนเป็นสำคัญ ให้โอกาสผู้เรียนทุกคนได้มีส่วนร่วมในการเรียน ได้ศึกษา สังเกตและคิด วิเคราะห์บทนิยาม และกระบวนการคิดเกี่ยวกับพหุนามด้วยความเข้าใจ สามารถสรุปความคิด รวบยอดและหลักการต่างๆ ได้ถูกต้อง มีความรู้ ความชำนาญ และคิดคำนวณได้ถูกต้องแม่นยำ และรวดเร็ว เรียนด้วยความสนุกสนาน มีความมั่นใจในความรู้ที่เกิดขึ้นกับ ตนเอง มีกำลังใจ และมีเจตคติที่ดีต่อคณิตศาสตร์ อยากรู้ อยากเรียน อยากคิด อยากทำ มีเหตุผล สามารถคิดวิเคราะห์และแก้ปัญหาอย่างเป็นระบบ ละเอียดรอบคอบ รู้จักแยกแยะเลือกคิดเลือกทำแต่สิ่งที่เกิดประโยชน์ในทางที่ถูกและมีคุณธรรม ซึ่งเป็นคุณลักษณะอันพึงประสงค์ของเยาวชนที่สังคมและประเทศชาติต้องการ
ตัวแปรและค่าคงตัว

ตัวเลข เป็นสัญลักษณ์ที่เขียนแทนจำนวน เช่น
เขียน 3 แทนจำนวน สาม
เขียน 7 แทนจำนวน เจ็ด

บางครั้งไม่สามารถเขียนตัวเลขแทนจำนวนได้ เช่น สามเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่ง ไม่สามารถใช้ตัวเลขเขียนแทนจำนวนจำนวนหนึ่งได้ จึงใช้ตัวอักษร เช่น a, b, c, … , x, y, z ตัวใดตัวหนึ่ง เป็นสัญลักษณ์เขียนแทนจำนวนจำนวนหนึ่ง และอาจใช้ 3a หรือ 3b หรือ 3x หรือ -3y ก็ได้แทน “สามเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่ง”
เรียก ตัวเลขที่ใช้เขียนแทนจำนวน ว่า “ค่าคงตัว”
เรียก ตัวอักษรที่ใช้เขียนแทนจำนวน ว่า “ตัวแปร”
และเรียกข้อความในรูปสัญลักษณ์ เช่น 2, -4x, 3a + 2 ว่า นิพจน์

แนะนำ

วิธีการเขียนผลคูณระหว่างค่าคงตัวกับตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปมีหลายแบบ เช่น
3 × y อาจเขียน 3(y) หรือ (3)y หรือ (3)(y) หรือ 3y
1 × b อาจเขียน 1(b) หรือ (1)b หรือ (1)(b) หรือ b
-1 × z อาจเขียน (-1)z หรือ (-1)z หรือ (-1)(z) หรือ -z
2 × 3 × x × x × x × y × y อาจเขียน (2)(3)(x)(x)(x)(y)(y) หรือ (6)(x)(x)(x)(y)(y) หรือ 6x3y2 ก็ได้

โดยทั่วไปนิยมเขียนผลคูณระหว่างค่าคงตัวกับตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป ในรูปที่สะดวก สั้น กระทัดรัด เช่น 3y, b, -z, 6x3y2

เอกนาม

บทนิยาม
นิพจน์ที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปการคูณของค่าคงตัวกับตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป
และเลขชี้กําลังของตัวแปรแต่ละตัว เป็นจํานวนเต็มบวกหรือศูนย์ เรียกว่า เอกนาม

คิดวิเคราะห์

จากบทนิยาม
นิพจน์ หรือ จำนวน ที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปการคูณของค่าคงตัวกับตัวแปรตั้งแต่ หนึ่งตัวขึ้นไป โดยที่เลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัว ต้องเป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์เท่านั้น จึงจะเรียกว่า เอกนาม

สัมประสิทธิ์และดีกรีของเอกนาม
เนื่องจาก -x2y3 = (-1) × x2 × y3 เป็นเอกนาม เรียกค่าคงตัวที่คูณกับตัวแปรว่า สัมประสิทธิ์ของเอกนาม และเรียก ผลบวกของเลขชี้กําลัง
ของตัวแปรทุกตัวว่า ดีกรีของเอกนาม

ดังนั้น -x2y3 เป็นเอกนามที่มีตัวแปรสองตัว คือ x และ y ซึ่งมี -1 เป?นสัมประสิทธิ์ของเอกนาม -x2y3 และมีผลบวกของเลขชี้กําลัง 2 + 3 คือ 5
เป?นดีกรีของเอกนาม -x2y3

-     1
2

เป็นเอกนาม เพราะสามารถเขียนให้อยู่ในรูปการคูณของค่าคงตัวกับตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปได้ คือ
-     1
2     = (-     1
2     ) × x0     หรือ
= (-     1
2     ) × y0     หรือ
= (-     1
2     ) × x0 × y0     ก็ได้

0 เป็นเอกนาม เพราะสามารถเขียนให้อยู่ในรูปการคูณของค่าคงตัวกับตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปได้ คือ
0     = (0) × xn
= (0) xn     เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์

ดังนั้น 0 เป็นเอกนาม แต่ไม่สามารถบอกดีกรีได้แน่นอนเพราะ 0 = (0) × xn โดยที่ n เป็นจํานวนเต็มบวกใด ๆ หรือศูนย์
ฉะนั้น จะไม่กล่าวถึงดีกรีของเอกนาม 0

เอกนามคล้ายกัน
เอกนามสองเอกนามคล้ายกัน ก็ต่อเมื่อ
1. เอกนามทั้งสองมีตัวแปรชุดเดียวกัน
2. เลขชี้กําลังของตัวแปรตัวเดียวกันในแต่ละเอกนามเท่ากัน

การบวกและการลบเอกนาม
การบวกเอกนามที่คล้ายกัน
การหาผลบวกของเอกนามที่คล้ายกัน อาศัยสมบัติการแจกแจงได้ดังนี้
1) 5x + 2x     = (5 + 2)x
= 7x
2) (-2x) + (-3x)     = [(-2) + (-3)] x
= -5x
3) x2 + 3×2     = (1 + 3) x2
= 4×2
4) (-5×2) + (-7×2)     = [(-5) + (-7)] x2
= -12×2ฃ

การลบเอกนามที่คล้ายกัน
การหาผลลบของเอกนามที่คล้ายกัน อาศัยสมบัติการแจกแจงได้ดังนี้
1) 3×2 – 2×2     = (3 – 2)x2
= x2
2) 5x – x     = (5 – 1)x
= 4x
3) 4y3 – 2×3     = (4 – 2) x3
= 2×3

ความสัมพันธ์ระหว่างการบวกกับการลบเอกนามที่คล้ายกัน
เนื่องจาก เอกนามเป็นจํานวน ดังนั้น การลบเอกนามที่คล้ายกันจึงสามารถเขียนในรูปการบวกได้ ดังนี้
1. จํานวนบวก ลบด้วย จํานวนบวก
เช่น
4x – 3x = 4x + (-3x)
2. จํานวนบวก ลบด้วย จํานวนลบ
เช่น
4x – (-2x)     = 4x + [- (-2x)]
= 4x + 2x
= 6x
3. จํานวนลบ ลบด้วย จํานวนบวก
เช่น
(-4x) – 2x     = (-4x) + (-2x)
= -6x
4. จํานวนลบ ลบด้วย จํานวนลบ
เช่น
(-4x) – (-2x)     = (-4x) + [- (-2x)]
= (-4x) + 2x
= -2x

การบวกเอกนามที่ไม่คล้ายกัน
การบวกเอกนามที่ไม่คล้ายกัน เช่น 2x + 3, x5 + 1 นั้น ไม่สามารถใช้สมบัติการแจกแจงหาผลบวกได้ ดังนั้น
เขียนผลบวกของ 2x กับ 3 ได้ 2x + 3
เขียนผลบวกของ x5 กับ 1 ได้ x5 + 1
เขียนผลบวกของ xy กับ x2 ได้ xy + x2
สําหรับเอกนามที่ไม่คล้ายกับอื่น ๆ ก็ต้องเขียนเช่นเดียวกัน

การบวกเอกนามที่ไม่คล้ายกัน
การลบเอกนามที่ไม่คล้ายกัน เช่น x – 2, x3 – 5 นั้น ไม่สามารถใช้สมบัติการแจกแจงหาผลลบได้ ดังนั้น
เขียนผลลบของ x กับ 2 ได้ x-2
เขียนผลลบของ x3 กับ 5 ได้ x3 – 5
สําหรับเอกนามที่ไม่คล้ายกับอื่น ๆ ก็ต้องเขียนเช่นเดียวกัน

สิ่งที่ควรจำ
1. ความหมายของเอกนาม
2. การบวก การลบ เอกนามที่คล้ายกัน
3. การบวก การลบ เอกนามที่ไม่คล้ายกัน
เรียก ตัวเลข ที่ใช้เขียนแทนจํานวนว่า ค่าคงตัว
เรียก ตัวอักษร ที่ใช้เขียนแทนจํานวนว่า ตัวแปร
เรียก นิพจน์ หรือจํานวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปการคูณของค่าคงตัวกับตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป และเลขชี้กําลังของตัวแปร
แต่ละตัวเป็นจํานวนเต็มบวกหรือศูนย์ว่า เอกนาม
4. เอกนามสองเอกนามคล้ายกัน ก็ต่อเมื่อ เอกนามทั้งสองมีตัวแปรชุดเดียวกันและเลขชี้กําลังของตัวแปรเดียวกันในแต่ละ เอกนามเท่ากัน
5. การบวกและการลบเอกนามที่คล้ายกัน ใช้สมบัติการแจกแจงหาผลบวกและผลลบได้
6. การบวกและการลบเอกนามที่ไม่คล้ายกัน ใช้สมบัติการแจกแจงหาผลบวกและผลลบไม่ได้
7. 0 เป็นเอกนาม
พหุนาม
นิพจน์ที่สามารถเขียนในรูปเอกนาม หรือสามารถเขียนในรูปการบวกของเอกนามตั้งแต่สองเอกนามขึ้นไป เรียกว่า พหุนาม
เพื่อความสะดวกต่อไปนี้จะเรียกแต่ละเอกนามว่า พจน์ และในกรณีที่พหุนามมีเอกนามคล้ายกัน จะเรียกเอกนามที่คล้ายกันว่า พจน์ที่คล้ายกัน เช่น
-x
เป็นพหุนามที่มี     1 พจน์
x + 3y
เป็นพหุนามที่มี     2 พจน์
x2 – 7x + 5
เป็นพหุนามที่มี     3 พจน์
x3 + 4×2 – 2x + 1
เป็นพหุนามที่มี     4 พจน์
3×4 + x3 + 4×3 – x2 + x – 2     เป็นพหุนามที่มี     6 พจน์

แต่มีพจน์ที่คล้ายกันอยู่ 2 พจน์ คือ -x3 กับ 4×3

พหุนามที่มีบางพจน์เป็นพจน์ที่คล้ายกัน สามารถรวมพจน์ที่คล้ายกันเข้าด้วยกัน เพื่อทําให้พหุนามนั้นไม่มีพจน์ที่คล้ายกันเลย ดังนี้
3×4 + x3 + 4×3 – x2 + x – 2     = 3×4 + (1 + 4)x3 – x2 + x – 2
= 3×4 + 5×3 – x2 + x – 2

และเรียก พหุนาม ที่ไม่มีพจน์ที่คล้ายกัน เช่น 3×4 + 5×3 – x2 + x – 2 ว่า พหุนามในรูปผลสําเร็จ

ดีกรีของพหุนาม หมายถึง ดีกรีสูงสุดของพจน์ในพหุนามในรูปผลสําเร็จจงทําให้เป็นพหุนามในรูปผลสําเร็จ และบอกดีกรีของพหุนาม
ตัวอย่าง 2×4 + 4×3 – x2 – 3×3 + 5×2 – 7x + 3 + 4x – 5 + 2×3
วิธีทํา 2×4 + 4×3 – x2 – 3×3 + 5×2 – 7x + 3 + 4x – 5 + 2×3
= 2×4 + (4 – 3 + 2)x3 – (1 – 5)x2 – (7 – 4)x + (3 – 5)
= 2×4 + 3×3 + 4×2 – 3x – 2 เป็นพหุนามที่มีดีกรีเท่ากับ 4
เพราะว่ า 4 เป็นดีกรี สูงสุดของพจน์ในพหุนามดี

การบวกพหุนาม
ผลบวกของพหุนาม หาได้โดยนําพหุนามทั้งสองมาเขียนในรูปการบวก และ ถ้ามีพจน์ที่คล้ายกัน ให?บวกพจน์ที่คล้ายกันเข้าด้วยกัน เช่น
จงหาผลบวกของ 5×3 – 4y2 + 2x – y กับ -3×3 + 2y2 – 3x + 2y – 5
วิธีคิด
1. นําพหุนามทั้งสองมาเขียนในรูปการบวก ดังนี้
(5×3 – 4y2 + 2x – y) + (-3×3 + 2y2 – 3x + 2y – 5)
= 5×3 – 4y2 + 2x – y – 3×3 + 2y2 – 3x + 2y – 5
= 2×3 – 2y2 – x + y – 5 ซึ่งเป็นพหุนามในรูปผลสําเร็จ
2. เรียกพหุนามในรูปผลสําเร็จ 2×3 – 2y2 – x + y – 5 ว่า ผลบวกของพหุนาม

ตัวอย่าง จงหาผลบวกของพหุนาม x4 – 2×3 + 3×2 + x กับ -2×4 + x3 – 2×2 + 2x – 1
วิธีทํา (x4 – 2×3 + 3×2 + x) + (-2×4 + x3 – 2×2 + 2x – 1)
= x4 – 2×3 + 3×2 + x – 2×4 + x3 – 2×2 + 2x – 1
= x4 – x3 + x2 + 3x – 1
ดังนั้น ผลบวกของพหุนาม คือ x4 – x3 + x2 + 3x – 1
อาจหาผลบวกในแนวตั้ง ได้ดังนี้
วิธีทํา        x4   –  2×3  +  3×2  +   x
+

ผลบวกของพหุนาม คือ
การหาผลบวกในแนวตั้ง ทําให้หาผลบวกได้ง่ายขึ้น เพราะพจน์ที่คล้ายกันอยู่ตรงกัน

(1) × x = x
(-1) × x = -x
ดังนั้น     -1 = (-1) × 1
-2 = (-1) × 2
-x = (-1) × x
-x2 = (-1) × x2
-(x2 + 2) = (-1) × (x2 + 2)
-(2×2 – 4x – 3) = (-1) × (2×2 – 4x – 3)

4) ทบทวนความรู้ความเข้าใจเกี่ยวกับสมบัติการแจกแจง เมื่อ a, b, c แทนจํานวนจริงใด ๆ
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
เช่น (10 + 2) × 3 = (10 × 3) + (2 × 3)
คิดวิเคราะห์
ให้ a, b, x และ y เป็นพหุนามใด ๆ เนื่องจากพหุนามเป็นจํานวน ดังนั้น 2(x + 3) = (2 • x) + (2 • 3) = 2x + 6

คิดวิเคราะห์
พิจารณา พหุนาม -(x + y) และ -(x – y)
เพราะว่า -(x + y)     = (-1) (x + y)
= (-1) (x) + (-1) (y)
= (-x) + (-y)

ดังนั้น -(x + y) = (-x) + (-y)

แต่ -(x + y) หมายถึง จํานวนตรงข้ามของ (x + y) ดังนั้น จํานวนตรงข้ามของ (x + y) คือ (-x) + (-y) ________________ (1)
และ เพราะว่า -(x – y)
= (-1) [x + (-y)]
= (-1) (x) + (-1) (-y)
= (-x) + y
ดังนั้น -(x – y) = (-x) + y
ดังนั้น จํานวนตรงข้ามของ (x – y) คือ (-x) + y ________________ (2)
จาก (1) และ (2) สรุปได้ว่า -(x – y) = (-x) + y
จํานวนตรงข้ามของพหุนามใด คือ ผลบวกของจํานวนตรงข้าม
ของแต่ละพจน์ในพหุนามนั้น

คิดวิเคราะห์การหาผลลบของพหุนาม
การหาผลลบของพหุนาม ทําได้โดยเขียนพหุนามในรูปการลบ ให้อยู่ในรูปการบวกกับจํานวนตรงข้ามของตัวลบ เช่น ให้ x และ y เป็นพหุนามใด ๆ
x – y = x + (-y)

ตัวอย่าง จงหาผลลบของ 9x – (4x + 5)
วิธีคิด เขียนการลบในรูปการบวกของจํานวนตรงข้ามของตัวลบ จะได้

9x – (4x + 5)
= 9x + [-(4x + 5)]
= 9x + [(-1)(4x) + (-1)(5)]
= 9x + [(-4x) + (-5)]
= 9x – 4x – 5
= 5x – 5

ดังนั้น 9x – (4x + 5) = 5x – 5

วิธีทํา
9x – (4x + 5)     = 9x + (-4x – 5)
= 9x – 4x – 5
= 5x – 5

ดังนั้น 9x – (4x + 5) = 5x – 5

3) ทบทวนความรู้ความเข้าใจเกี่ยวกับการคูณจํานวน เช่น
(-2) × (4) = -8
(-1) × (-3) = 3
(-1) × (-2) = 2
คิดวิเคราะห์
ให้ x เป็นพหุนามใด ๆ เนื่องจากพหุนามเป็นจํานวน ดังนั้น
การคูณพหุนาม
ทบทวนสมบัติการแจกแจง
ถ้า a, b และ c เป็นจํานวนใด ๆ a (b + c) = ab + ac
1) หาผลลัพธ์ของ (x + 2) (x + 3) โดยใช้สมบัติการแจกแจง
ได้ดังนี้     ี้ (x + 2) (x + 3)     = x(x + 3) + 2(x + 3)
= x2 + 3x + 2x + 6
= x2 + 5x + 6

ดังนั้น (x + 2) (x + 3) = x2 + 5x + 6

2) หาผลลัพธ์ของ (x + 2) (x + 3) โดยคูณแต่ละพจน์ของพหุนามหนึ่งกับทุกพจน์ของอีกพหุนามหนึ่ง แล้วนําผลคูณที่ได้มาบวกกัน ดังนี้
= (x)(x) + (x)(3) + (2)(x) + (2)(3)
= x2 + 3x + 2x + 6
= x2 + 5x + 6

= x2 + 6 + 2x + 3x
= x2 + 5x + 6

ซึ่งเรียกว่า การคูณตามแนวนอน

คิดวิเคราะห์
พิจารณา การหาผลลัพธ์ของ (x + 2) (x + 3) ตามแนวตั้ง

ดังนั้น (x + 2) (x + 3) = x2 + 5x + 6
การหารพหุนาม

ถ้า A และ B เป็นพหุนามใด ๆ ที่ B ≠ 0 การหารพหุนาม A ด้วยพหุนาม B เขียนแทนด้วย A ÷ B หรือ A
B

การหารพหุนามด้วยพหุนามที่ไม่ใช่ศูนย์ ใช่หลักการเดียวกับการหารจํานวนเต็ม ซึ่งมีทั้งการหารลงตัว และการหารไม่ลงตัว

ตัวอย่าง (3x4 + 4x3 – 5x2 + 2x) ÷ x เมื่อ x ≠ 0

วิธีทํา วิธีที่ 1 (3x4 + 4x3 – 5x2 + 2x) ÷ x
= 3x4
x
+ 4x3
x
- 5x2
x
+ 2x
x
= 3x3 + 4x2 – 5x + 2

ดังนั้น (3x4 + 4x3 – 5x2 + 2x) ÷ x = 3x3 + 4x2 – 5x + 2 ซึ่งผลหารเป็นพหุนาม เรียกการหารซึ่งผลหารเป็นพหุนามว่าเป็น การหารลงตัว

วิธีที่ 2 โดยการตั้งหาร ดังนี้

ดังนั้น (3x4 + 4x3 – 5x2 + 2x) ÷ x = 3x3 + 4x2 – 5x + 2

ขั้นตอนการตั้งหารพหุนามด้วยพหุนาม